이인석 <선형대수와 군>
23 Dec 2019목차
- Introduction
- 연습문제 3.5.6 (2020-01-02)
- 정리 4.5.3(Rank Theroem) “꿈 속의 증명”의 Gap 메우기(2020-01-03)
1. Introduction
“이인석 선형대수와 군”은 서울대학교 수리과학부 학부생들이 선형대수학을 배울 때 사용하는 교재입니다.
고등학교 수학 시간에 행렬에 대해서 배울 때 특별히 설명을 제시하지 않고 넘어갔던 몇 가지 명제들이 있는데, 예를 들면 다음과 같은 것들입니다.
\[ AX = 0\text{ 의 해가 }X = 0\text{ 뿐이면 }A\text{ 는 역행렬을 갖는다.} \]
\[ AB = I\text{ 면 }BA = I\text{ 다.} \]
그리고 다음과 같은 부분에서 고등학교 수학은 특별히 설명을 제시하지 않고 넘어갑니다.
\[ \text{행렬의 곱셈은 왜 그렇게 부자연스럽게 계산하는 걸까?} \]
\[ \text{행렬의 판별식은 왜 그렇게 계산해야만 하는 걸까?} \]
선형대수학 스터디를 하면서 위와 같은 내용에 대한 근거를 알 수 있을 것입니다. 선형대수학에서는 행렬공간을 벡터공간으로 이해하게 됩니다. 행렬공간을 벡터공간으로 이해하게 되면 기저와 차원을 정의할 수 있고, 기저와 차원을 정의하게 되면 dimension theorem을 적용할 수 있게 되며, “행렬과 선형사상은 같은 것”이라는 선형대수학의 기본 정리를 이해할 수 있게 됩니다. 이런 흐름 속에서 위의 주제들에 대한 답을 찾게 됩니다.
그 밖에 다음과 같은 응용 사례의 이론적 기반을 다질 수 있습니다.
- Lagrange Interpolation : 좌표평면상에 \(n+1\)개의 점이 주어졌을 때 그 점을 모두 지나는 \(n\)차 함수를 찾는 방법
- Rank Theorem : 행렬의 row rank와 column rank가 같다는 정리
- diagonalization : 행렬을 대각행렬의 꼴로 변환하는 방법. 대각행렬로 변환하는 이유는 대각행렬의 계산이 가장 쉽기 때문.
- 피보나치 수열의 일반항을 diagonalization을 이용해서 구하기
- 1차 연립방정식의 해가 일반해 + 특수해의 꼴로 주어지는 이유
- 기타 등등…
2. 연습문제 3.5.6
연습문제 3.5.6의 답은 \(dim_\mathbb{R}\;\mathbb{C}^n = 2n\) 이다. 다음에서 잘못된 부분은 어디인가?
\(\mathbb{C}^n\)은 \(\mathbb{R}^n\)과 isomorphic하다. 그런데 \(dim_\mathbb{R}\;\mathbb{R}^n = n\) 이다. 서로 isomorphic한 \(\mathbb{C}^n\)과 \(\mathbb{R}^n\)의 dimension이 서로 다르다.
\(\mathrm{F}^n\)의 dimension이 \(n\)이라고 이야기하려면 \(\mathrm{F}\)를 고정해야 한다. 다시 말해서 \(\mathrm{F}\)-vector space \(\mathrm{F}^n\)에 대해 \(dim_\mathrm{F}\;\mathrm{F}^n = n\) 인 것이다. \(\mathbb{C}^n\)의 경우 \(dim_\mathbb{R}\;\mathbb{C}^n = 2n\) 이지만 \(dim_\mathbb{C}\;\mathbb{C}^n = n\) 이다. 따라서 \(\mathbb{C}^n\) 을 \(\mathbb{R}\)-vector space로 보면 \(\mathbb{C}^n \approx \mathbb{R}^{2n}\) 이지만 \(\mathbb{C}^n\) 을 \(\mathbb{C}\)-vector space로 보면 \(\mathbb{C}^n \approx \mathbb{R}^{n}\) 이다. 참고로 \(\mathbb{C}\)-vector space \(\mathbb{C}^n\)은 \(\{\mathbf{e_1},\;\mathbf{e_2},\;\ldots,\;\mathbf{e_n}\}\)을 basis로 갖는다. 여기서 \(\mathbf{e_j} = (\delta_{ij}) \in F^n\).
이 영상에서 힌트를 얻었다.
3. 정리 4.5.3(Rank Theroem) “꿈 속의 증명”의 Gap 메우기
책에 제시된 정리 4.5.3의 “꿈 속의 증명”의 gap은 다음과 같다. \(A\)의 row-reduced echelon form을 \(R\)이라고 했을 때 \(A\)의 column rank와 \(R\)의 column rank가 같은지를 확인하지 않은 것이다.
선형대수학의 기본 정리를 배우고 난 후에는 5.4.16처럼 선형대수학의 기본 정리를 활용하여 이 부분을 확인할 수 있다.
선형대수학의 기본 정리 없이 dimension theorem을 이용하여 다음과 같이 확인하는 방법도 있다.
\(A \in \mathfrak{M}_{m,n}(F)\) 이고 \(A \sim_{r} R\) 일 때, \(L_A:F^n\rightarrow F^m\) 와 \(L_R:F^n\rightarrow F^m\) 을 생각하면, 다음이 성립한다.
\[ dim\;kerL_A + dim\;imL_A = n = dim\;kerL_R + dim\;imL_R\qquad\text{(dimension theorem)} \]
그런데 \(kerL_A = kerL_R\) 이므로 \(dim\;kerL_A = dim\;kerL_R\) 이고, 따라서 \(dim\;imL_A = dim\;imL_R\) 이 되어 \(A\)와 \(R\)의 column rank가 같음을 알 수 있다.